#12 Eine tatsächliche unendliche Menge durch sukzessives Aneinanderreihen bilden

Dr. craig’s response

Nun, Michael, ich teile ganz offensichtlich Ihre Intuition! Sie fragen hier im Grunde nach der Rechtfertigung für Prämisse 1. Es erscheint Ihnen unmöglich, eine aktual unendliche Menge von Dingen durch Aneinanderreihen zu bilden. Sie möchten wissen, ob wir diese Intuition etwas genauer darlegen können, um zu verstehen, warum die Bildung einer unendlichen Menge von Dingen durch sukzessive Aneinanderreihung unmöglich ist.

Fügen wir einer endlichen Menge endliche Mengen hinzu, können wir das Problem klar erkennen: Da das Addieren von endlichen Mengen immer eine endliche Menge ergibt, kommen wir nie ins Unendliche, selbst wenn wir immer weiter addieren. Die Unendlichkeit ist in diesem Fall nur eine Grenze, die wir nie erreichen.

Wirklich rätselhaft, ja, irrsinnig, ist der Gedanke, dass wir durch Addieren von endlichen Mengen eine unendliche Menge – z. B. eine Menge von Sammelkarten mit Fußballspielern – bilden können, indem wir nie anfangen, zu einer bestimmten Zeit aber aufhören! Hier kann die Unmöglichkeit nicht so analysiert werden, als sei sie auf die Unmöglichkeit zurückzuführen, endlichen Mengen endliche Mengen hinzuzufügen und eine unendliche Menge herauszubekommen, denn in diesem Fall ist die Menge, der wir endliche Mengen hinzufügen, immer und bereits unendlich. Wir fügen einer bereits unendlichen Menge sukzessiv endliche Mengen zu, daher ist die Summe natürlich auch unendlich. Hier agiert die Unendlichkeit nicht als eine bloße Grenze, sondern als eine Menge konkreter Elemente.^[5]

Beachten Sie hier aber, dass man noch immer nicht erklärt hat, wie wir unsere unendliche Menge von Sammelkarten mit Fußballspielern durch sukzessives Aneinanderreihen bilden können. Denn zu jedem Zeitpunkt in der Vergangenheit ist die Menge bereits unendlich, und trotzdem ist die Gesamtmenge noch nicht gebildet. Die Gesamtmenge ist erst gebildet, wenn die letzte Karte hinzugefügt wird. Von jedem Punkt in der Vergangenheit aus braucht man nur eine endliche Kartenanzahl hinzuzufügen, um die Menge zu vervollständigen. Doch das ist keine Antwort auf die Frage, wie die gesamte Menge vorher durch sukzessives Aneinanderreihen hätte gebildet werden können.

Folgendes scheint mir das Problem zu sein: Damit die Menge vollständig wird, müssen wir schon vorher eine unendliche Anzahl von Karten nacheinander aufgezählt haben. Doch bevor die letzte Karte hinzugefügt werden könnte, müsste die Karte davor hinzugefügt werden; und bevor diese Karte hinzugefügt werden könnte, müsste die Karte davor hinzugefügt werden; und so weiter ad infinitum. So wird man immer weiter in die unendliche Vergangenheit getrieben, wodurch es unmöglich wird, dass eine Karte der Menge hinzugefügt wird.

Diese Art, das Argument zu formulieren, ähnelt Zenons Argument, demzufolge Achilles ein Stadion erst einmal zur Hälfte zurücklegen muss, bevor er es ganz zurücklegen kann. Doch bevor er es zur Hälfte zurücklegen kann, muss er erst ein Viertel des Weges zurücklegen. Doch bevor er ein Viertel des Weges zurücklegen kann, muss er ein Achtel des Weges zurücklegen und ewig so weiter. Also konnte Achilles an keinem Punkt wirklich ankommen. Zenons Paradoxie wird durch den Hinweis gelöst, dass die Intervalle, die Achilles durchläuft potentiell und ungleich sind. Zenon nimmt grundlos an, dass jeder endliche Intervall aus einer unendlichen Anzahl von Punkten besteht, während Zenons Gegner, wie Aristoteles, den Intervall als etwas Ganzes sehen, das konzeptionell vor allen Teilungen kommt, die wir damit vielleicht vornehmen. Zudem ergeben Zenons Intervalle, die ja ungleich sind, zusammengenommen lediglich eine endliche Distanz. Im Gegensatz hierzu sind die Intervalle im Falle einer unendlichen Vergangenheit aktual und gleich und ergeben zusammengenommen eine unendliche Distanz.

Mit das Beste, das Gegner des Argumentes an dieser Stelle tun können, ist meiner Meinung nach zu sagen, dass die Menge von Baseballkarten vervollständigt werden kann, wenn man z. B. eine Karte pro Sekunde hinzufügt, nämlich weil es eine unendliche Anzahl von Sekunden in einer unendlichen Vergangenheit gegeben hat. Doch diese Antwort löst das Problem offensichtlich nur sehr bedingt: denn dann stellt sich die Frage, wie die unendliche Menge an vergangenen Sekunden durch sukzessives Aneinanderreihen gebildet werden kann. Denn noch vor die gegenwärtige Sekunde verstreichen könnte, müsste die Sekunde davor verstreichen, und so weiter – wie vorhin auch. Da das Problem auch für die Zeit selbst gilt, kann es nicht durch Berufung auf die unendliche Zeit in der Vergangenheit gelöst werden.

Natürlich werden Vertreter einer statischen oder zeitlosen Theorie der Zeit („B-Theorie der Zeit“, Anm. d. Übers.) abstreiten, dass zeitliche Momente wirklich verstreichen. Dann ist ihr Einwand aber gegen Prämisse 2 gerichtet, nicht gegen Prämisse 1.

Wenn man von diesem Argument noch nicht überzeugt ist, würde ich eine weitere Verteidigung von Prämisse 1 anbieten, in der ich folgendermaßen argumentiere: Wenn eine aktual unendliche Menge durch Aneinanderreihen gebildet werden könnte, würden daraus mehrere Absurditäten resultieren. Denken Sie an das Szenario, das sich al-Ghazali im Zusammenhang mit der schon immer andauernden Existenz unseres Sonnensystems vorstellte und in dem die Umlaufzeiten der Planeten so koordiniert sind, dass Jupiter 2,5 Umrundungen in derselben Zeit absolviert, in der Saturn eine Umrundung absolviert. Wenn sie diese Umrundungen nun schon immer absolvieren, welcher Planet hat dann die meisten Umrundungen absolviert? Die korrekte mathematische Antwort wäre, dass sie genau gleich viele Umrundungen absolviert haben. Doch das erscheint absurd. Schließlich wächst die Diskrepanz zwischen Jupiter und Saturn mit der Anzahl der Umrundungen, sodass sie sich Stück für Stück einer Grenze nähern, bei der Saturn unendlich weit hinter Jupiter zurückgefallen ist. Da es nun aber in beiden Fällen aktual unendlich viele Umrundungen sind, sind es auf wundersame Weise nun auch identisch viele. Ja, Saturn und Jupiter haben die Unendlichkeit schon immer „erreicht“: Sie haben immer gleich viele Umrundungen absolviert. Also haben sie jeweils unendlich viele Umrundungen absolviert, und diese Anzahl von Umrundungen ist seit der gesamten ewigen Vergangenheit gleich und unverändert – trotz der noch laufenden Umrundungen und der wachsenden Diskrepanz zwischen den beiden Planeten, die sich bei jedem endlichen Zeitintervall ergeben würde. Das finde ich völlig verrückt.

Und es kommt noch schlimmer: Nehmen wir an, wir lernen einen Mann kennen, der behauptet, dass er von Unendlich herunterzählt und jetzt gerade fertig wird: …, -3, -2, -1, 0. An dieser Stelle sollten wir uns fragen: Warum hat er gestern nicht fertig gezählt oder vorgestern oder letztes Jahr? Es war jeweils schon unendlich viel Zeit vergangen, sodass er eigentlich schon fertig sein müsste. Wir könnten also an keinem Punkt in der Vergangenheit auf einen Mann treffen, der seinen Countdown beendet, denn bis zu diesem Zeitpunkt hätte er schon fertig sein müssen! Ja, ganz egal, wie weit wir in die Vergangenheit zurückgehen, finden wir den Mann nicht zählend vor, denn er wird zu jedem Zeitpunkt bereits fertig sein. Doch wenn wir ihn an keinem Punkt in der Vergangenheit zählend vorfinden, dann widerspricht dies der Hypothese, dass er schon immer herunterzählt. Das beweist ebenfalls, dass es unmöglich ist, eine aktual unendliche Menge zu bilden, indem man nie anfängt, aber ein Ende erreicht – genauso wie es unmöglich ist, an einem Punkt anzufangen und die Unendlichkeit zu erreichen.

Zur Verteidigung von Prämisse 1 biete ich also sowohl das direkte Argument gegen die Möglichkeit, eine aktual endliche Menge dadurch zu bilden, dass man nie anfängt, aber an einem Punkt aufhört, als auch das indirekte reductio-Argument, dass dann, wenn man Prämisse 1 ablehnt, mehrere Absurditäten folgen würden.

(Übers.: J. Booker)

Link to the original article in English: /forming-an-actual-infinite-by-successive-addition

Anmerkungen

^[1] Nur potentiell vorliegende unendliche Mengen gibt es etwa in der Mathematik – man spricht z.B. von der „Menge aller natürlichen Zahlen“ (1, 2, 3, …), die unendlich groß ist. Eine aktual (oder tatsächlich) unendliche Menge wäre z.B. eine Menge unendlich vieler Wassermoleküle oder eine unendlich viele Stunden dauernde Vergangenheit. Die Frage ist hier, ob es solche aktual unendliche Mengen von Dingen geben kann. Eine Prämisse des kalam-kosmologischen Argumentes für die Existenz Gottes ist „Das Universum hatte einen Anfang“. Diese kann auf der einen Seite naturwissenschaftlich begründet werden (z.B. durch die Indizien für den Urknall), oder philosophisch, u.a. durch die These der Unmöglichkeit aktual unendlicher Mengen. (Anm. d. Übers.)

^[2] Zur Erläuterung: Nach der „zeitlichen Theorie der Zeit“ (der sog. A-Theorie der Zeit) wandern Ereignisse von der Zukunft in die Gegenwart in die Vergangenheit und es ist eine objektive Tatsache, ob ein bestimmtes Ereignis in der Vergangenheit, Gegenwart oder Zukunft liegt. Es gibt nach der A-Theorie so etwas wie eine objektiv existierende Gegenwart.
Nach der „nicht-zeitlichen Theorie der Zeit“ (sog. B-Theorie der Zeit) hingegen besteht die Zeit nur aus den Beziehungen Früher und Später. Alle Zeitpunkte - auch die zukünftigen und vergangenen - sind jederzeit gleichermaßen "real". Dass eine bestimmte Zeit in der "Gegenwart" liegt, ist demnach nur eine subjektive Wahrnehmung des jeweiligen Betrachters.
Diese Unterscheidung zwischen A-Theorie und B-Theorie geht zurück auf den Aufsatz von John McTaggart „The Unreality of Time“ (1908), dt. „Die Unwirklichkeit der Zeit“. (Anm. d. Übers.)

[3] Dt. „Eine schnelle und einfache Widerlegung des kalam-kosmologischen Argumentes?“ (bislang nicht übersetzt; Anm. d. Übers.)

[4] Dt. „Muss die Vergangenheit einen Anfang gehabt haben?“ (bislang nicht übersetzt; Anm. d. Übers.)

[5] Eigentlich muss sich eine Menge vergrößern, wenn man weitere Elemente hinzufügt. Eine bereits unendliche Menge kann paradoxerweise trotz Hinzufügens weiterer Elemente nicht weiter vergrößert werden. Sie war vorher bereits unendlich groß, und ist nach Hinzufügen einzelner weiterer Elemente immer noch unendlich groß. Somit ist die Menge größer geworden und doch nicht größer geworden - ein Paradox. (Anm. d. Übers.)