#203 Deus e Gödel

Dr. craig’s response

Que maravilhoso é ouvir de um matemático profissional, James! Esta semana eu estive lendo sobre os modelos não-padrão da aritmética. É muito interessante e estranho! Os Axiomas de Peano para a aritmética estão incompletos na forma como você descreveu; há verdades aritméticas que não podem ser decididas em uma linguagem da lógica de primeira ordem com base em axiomas, apenas.

Pelo que entendi, os teoremas da incompletude ou incompletitude, no entanto, o que eles mostram não é a impossibilidade de conhecer certas verdades matemáticas, mas, sim, a sua impossibilidade de derivar dos axiomas da teoria relevante. Em alguns casos, nós sabemos que as afirmações são verdadeiras, mesmo que não possam ser provadas com base em axiomas. Em outros casos, como a Hipótese do Continuum que você menciona, podemos não saber se a afirmação é verdadeira ou falsa, mas isso não a impede ter um valor de verdade. Se isso acontece, então vai ser conhecido por Deus, pois Deus, como um ser onisciente, tem a propriedade essencial de saber somente e todas as proposições verdadeiras. Ele não precisa derivar a declaração dos axiomas; Ele já sabe se eles são verdadeiros e sabe também se são ou não deriváveis.

Eu digo: "Se eles são verdadeiros." É só na visão platônica da matemática que não pode haver lacunas de valores de verdade no que diz respeito a algumas de suas frases. A Hipótese do Continuum, que afirma que o próximo maior número após ℵ0 (o menor dos números cardinais infinitos) é o número de pontos em uma linha, não precisa ter valor de verdade de forma alguma se somos anti-realistas sobre as entidades matemáticas. Se, como estou fortemente inclinado a fazer, nós considerarmos a teoria dos conjuntos como um exercício de faz de conta, de acordo com o qual tratamos os axiomas dessa teoria como propostas a serem imaginadas como verdadeiras e, então, tiramos as conseqüências nesse caso, no mundo ficcional da teoria dos conjuntos, simplesmente não existe uma verdade sobre a Hipótese do Continuum mais do que há uma verdade sobre o tamanho dos sapatos de Sherlock Holmes. Isso é apenas deixado em aberto pela história! Entidades ficcionais são, portanto, radicalmente incompletas, e o fato de que nem a Hipótese do Continuum, nem sua negação sejam deriváveis dos axiomas padrão da teoria dos conjuntos, é exatamente o que devemos esperar de entidades ficcionais que não foram completamente caracterizadas. Em um caso como este, não existe uma verdade a ser conhecida por Deus, assim como não existe uma verdade para Ele para saber sobre o tamanho dos sapatos de Sherlock Holmes.